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Consideriamo una funzione $y=f(x)$ continua e strettamente monotona (cioè, strettamente crescente o decrescente) in un intervallo $[a,b]$.

Sotto queste condizioni esiste la funzione inversa $f^{-1}(y) $, ovvero quella funzione che composta con $f(x)$ dà la funzione identica: $f^{-1}\left(f(x)\right)= (f^{-1} \circ f) (x) = x$.

Bisogna fare molta attenzione a non confondere la funzione inversa $f^{-1}(y)$ con il reciproco della funzione $[f(x)]^{-1} = \frac{1}{f(x)}$, anche se spesso entrambe vengono indicate con $f^{-1}$: questa è una scrittura possibilmente da evitare, in quanto ambigua.


La regola di derivazione della funzione inversa è la seguente: se $f(x)$ è derivabile e $f'(x) \neq 0$ in [a,b], allora la derivata di $f^{-1}(y)$ è:

$$ \boxed{\displaystyle{D\left[f^{-1}(y)\right] =  \frac{1}{f'(x)}}}$$


La formula precedente può essere dedotta con il seguente ragionamento.

Partiamo dall'uguaglianza $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ e deriviamo entrambi i membri $$D\left[f^{-1}\left(f(x)\right)\right]=D[x]$$ Sfruttando, per il primo membro, la regola di derivazione delle funzioni composte, risulta: $$D\left[f^{-1}\left(f(x)\right)\right] \cdot f'(x)= 1$$ e quindi, visto che abbiamo supposto che $y=f(x)$ e $f'(x) \neq 0$ otteniamo proprio la formula vista sopra:

$$ D\left[f^{-1}(y)\right] =  \frac{1}{f'(x)}$$

 

Quindi la derivata dell'inversa di una funzione è il reciproco della derivata della funzione data.

 

Possiamo dimostrare la stessa formula anche ricorrendo alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, al tendere a zero dell'incremento. Supponiamo che la funzione $f$, continua, strettamente monotona e derivabile su $[a,b]$ con derivata mai nulla, per $x_0 \in (a,b)$ assuma il valore $f(x_0) = y_0$. Allora abbiamo:

$$ D\left[f^{-1}(y)\right]=\lim_{y \to y_0}\frac{ f^{-1}(y)- f^{-1}(y_0)}{y - y_0}$$

Siccome $y=f(x)$ e $y_0=f(x_0)$, allora viceversa sappiamo che $x=f^{-1}(y)$ e $x_0=f^{-1}(y_0)$.

Inoltre, dato che $f(x)$ è continua, quando $x \to x_0$ anche  $y \to y_0$. Quindi vediamo che:

$$  \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{ \displaystyle{\lim_{x \to x_0}}\frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = \lim_{x \to x_0}\frac{1}{\frac{ f(x)- f(x_0)}{x - x_0}} =\lim_{y \to y_0}\frac{ f^{-1}(y)- f^{-1}(y_0)}{y- y_0}=  D\left[f^{-1}(y)\right]$$

Vediamo qualche esempio.

Consideriamo la funzione arcoseno, $y = \arcsin x$ con $x \in [-1,1]$.

Sappiamo che $y$ è l'inversa di $x=\sin y $ con $y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$.

La derivata dell'arcoseno quindi sarà: $$ (\arcsin)' (x) = \frac{1}{(\sin)'(y)} =  \frac{1}{\cos y}$$

Dobbiamo però esprimere la derivata di $(\arcsin)' (x)$ utilizzando la variabile $x$. Osserviamo che per $y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$ si ha $\cos y= \sqrt {1- \sin^2y}= \sqrt {1-  x^2}$, poiché $x=\sin y$.

Quindi la derivata della funzione arcoseno è $$y'=(\arcsin)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$.

Allo stesso modo possiamo calcolare la derivata della funzione arcotangente.

Prendiamo $y = \arctan x$. Se $y \in (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $y= \arctan x$ è l'inversa della tangente $x= \tan y.$

Quindi la derivata di $y$ si può calcolare applicando la formula di derivazione della funzione inversa e ricordando che $(\tan)' (y)= 1+ (\tan)^2(y)$: $$ (\arctan)'(x) =   \frac{1}{(\tan)'(y)}= \frac{1}{1+(\tan)^2(y)} = \frac{1}{1+x^2}$$

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Errori tecnici o
di contenuto?

http://www.oilproject.org/lezione/derivata-di-funzione-inversa-formule-calcolo-7164.html